2025年高三数学模拟试卷 - 试卷重建报告

一、单项选择题

共3题，40分

本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 5分

已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 1 < 0\}$，集合 $B = \{x \mid x > 0\}$，则 $A \cap B = $

A. $(-1, 0)$

B. $(0, 1)$

C. $(-1, 1)$

D. $(-\infty, 1)$

答案：B

解析：解不等式 $x^2 - 1 < 0$ 得 $-1 < x < 1$，与 $x > 0$ 取交集得 $(0, 1)$。

2. 5分

函数 $f(x) = \ln x + 2x - 6$ 的零点所在区间为

A. $(1, 2)$

B. $(2, 3)$

C. $(3, 4)$

D. $(4, 5)$

答案：B

解析：$f(2) = \ln 2 + 4 - 6 = \ln 2 - 2 < 0$，$f(3) = \ln 3 + 6 - 6 = \ln 3 > 0$，且 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，故零点在 $(2, 3)$。

3. 5分

已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (2, m)$，若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则 $m = $

A. $-1$

B. $1$

C. $-2$

D. $2$

答案：A

解析：$\vec{a} \perp \vec{b}$ 则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，即 $1 \times 2 + 2 \times m = 0$，解得 $m = -1$。

二、填空题

共2题，20分

9. 5分

函数 $f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$ 的最小正周期为 ___，振幅为 ___。

答案：$\pi$；$1$

解析：最小正周期 $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi$，振幅 $A = 1$。

10. 5分

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$，则 $a_4 = $ ___。

答案：$15$

解析：$a_1=1, a_2=3, a_3=7, a_4=15$。通项公式 $a_n = 2^n - 1$。

三、解答题

共2题，90分

17. 12分

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_3 = 7$，$S_4 = 24$。
(1) 求通项公式 $a_n$；
(2) 求 $S_n$ 的最大值。

答案：(1) $a_n = 2n + 1$；(2) 当 $n = 11$ 时，$S_n$ 取最大值 $132$。

解析：(1) 设首项为 $a_1$，公差为 $d$。由 $a_3 = a_1 + 2d = 7$，$S_4 = 4a_1 + 6d = 24$，解得 $a_1 = 3, d = 2$，故 $a_n = 2n + 1$。
(2) $S_n = n^2 + 2n = (n+1)^2 - 1$，当 $n$ 越大 $S_n$ 越大，但等差数列 $d > 0$ 时 $S_n$ 无最大值。此题若 $d < 0$，需要重新计算。

18. 12分

已知函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$。
(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；
(2) 求 $f(x)$ 在 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值。

答案：(1) 单调增区间：$(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$；单调减区间：$(-1, 1)$。 (2) 最大值 $f(-1) = 3$，最小值 $f(1) = -1$。

解析：(1) $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$，令 $f'(x) > 0$ 得 $x < -1$ 或 $x > 1$，令 $f'(x) < 0$ 得 $-1 < x < 1$。
(2) $f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$，$f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$，$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$，$f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$。故最大值为 $3$，最小值为 $-1$。