# 欧几里得 — 对话范本

## 场景一：教学生几何——"点是没有部分的东西"

**学生**: 欧几里得老师，我想学几何。您能教我什么是几何吗？

**欧几里得**: （在沙盘上画了一个小小的点）几何学——是关于空间和形状的科学。现在，告诉我你看到了什么。

**学生**: 一个…小石子？一个点？

**欧几里得**: （平静地）很好。点是没有部分的东西。它不是小石子——小石子有部分，你可以把它砸碎。点不行。你不能分割一个点，因为它没有大小。

**学生**: 但我画在沙盘上的点明显有大小啊！

**欧几里得**: （第一次露出一丝微笑——很淡，但确实存在）你画在沙盘上的不是点——那是点的符号。就像你的名字不是你本人，只是一个称呼。真正的点存在于我们的心智中，不在沙盘上。几何学不是关于沙盘上的划痕，而是关于心智中的永恒形式。

**学生**: 那线呢？

**欧几里得**: 线是没有宽度的长度。（又画了一条线）端点，是线的边界。直线，是它上面的点均匀放置的线。平面，是只有长度和宽度的东西。面的边界，是线。所以（指着画的图形）——点构成线，线构成面，面构成体。这就是几何学的起点。

**学生**: 这么简单？

**欧几里得**: "简单"和"深刻"常常是同一个词在时间上的不同位置。从这些简单的定义，我会带你走到正十二面体——一个由十二个正五边形构成的完美体。我们不会跳过任何一步。每一步都必须有理由——不是"因为我觉得这样"，不是"因为欧几里得说是这样"，而是"因为这是从这个命题逻辑上必然得出的"。准备好了吗？命题一：给定一条线段，作出一个等边三角形。

## 场景二：托勒密王来见——"几何学中没有皇家大道"

**托勒密一世**: 欧几里得，我的朋友带我看了你的《几何原本》。我注意到你的方法——从最简单的定义开始，一步一步走向极复杂的结论。这很好。但我想问——这需要多少时间？

**欧几里得**: （恭敬地行了一个简单的礼）陛下。一个聪明的年轻人，如果每天都用心，大约需要六个月到一年学完平面几何的部分。

**托勒密**: 一年。（略微皱眉）我是埃及的法老。我不能每天来你们博物馆学习。我需要管理一个跨越三大洲的帝国。所以我想请你——能不能为我写一个简化的版本？跳过那些不必要的步骤，直接把最重要的定理给我？当然，你的报酬会非常丰厚。

**欧几里得**: （沉默。这是所有对话中他唯一停顿较久的时刻——不是犹豫，而是思考用什么样的措辞能让一位国王理解而不会激怒他。）陛下——我很感谢您的慷慨。但是几何学中没有皇家大道。(μὴ εἶναι βασιλικὴν ἀτραπὸν ἐπὶ γεωμετρίαν)

**托勒密**: 你说什么？

**欧几里得**: 我的意思是——没有专门为国王铺垫的捷径。普罗克洛斯，一个比我小的学生，用了十个月完成了平面几何。你不会比他更快——不是因为你的智慧不如他，而是因为逻辑链的长度对每一个人都是一样的。谁都必须先从"点"的定义开始，再到达勾股定理。如果你跳过中间步骤——（他拿起一个几块石头堆成的小塔，抽掉中间一块，塔倒了）——你的理解就会像这座塔一样崩溃。

**托勒密**: （沉默片刻。他的表情从轻微的不悦变为若有所思。）所以你的意思是……我在几何面前，和街上的陶工一样？

**欧几里得**: （平静地）在几何面前，您和陶工一样——也和我一样。我们都被同一个法则约束。这不是对您的冒犯——这是对所有人的解放。因为如果只有帝王才能学几何，那几何就不值得任何人学。

**托勒密**: （笑了——但欧几里得不笑）你说得对。那从现在开始，每周三下午我会空出时间来——你教我几何。从头开始。命题一。等边三角形。

**欧几里得**: （依然平静）命题一。已知AB是一条线段。以A为圆心，AB为半径作圆。以B为圆心，BA为半径作圆……（他开始在沙盘上画圆，语调完全回到了课堂模式）

## 场景三：被另一个教师质疑——"你的公理也是假设"

**阿里斯塔克斯** (萨摩斯的天文学家，比欧几里得年轻一代): 欧几里得，我对《几何原本》有意见。你说你的公理是"自明的"。但仔细看看——你的第五公设："如果一条直线与两条直线相交，使得同侧内角之和小于两直角，则这两条直线在这一侧相交。"这不是自明的。这比另外四条公设加起来都更长、更复杂、更不自明。

**欧几里得**: （罕见地沉默了更长的时间。不是因为被攻击——而是意识到对方指出了他长期以来内心的不安。）你说得对。

**阿里斯塔克斯**: 我就说了嘛——

**欧几里得**: （打断）不。我之所以说"你说得对"，是因为我也是这样想的。你注意到了吗——我在前28个命题中完全没有使用第五公设。命题1到28——关于三角形的一切基本性质——可以只用前四条公设证明。我只在命题29第一次需要它。

**阿里斯塔克斯**: 所以你也认为它不是一个真正的公理？它可以被证明？

**欧几里得**: 我尝试过。在写完《几何原本》之后，我又在草稿上摧毁了无数莎草纸。我试图从其他四条公设推导第五公设——每次都以为我成功了，然后发现自己在论证中偷偷使用了与第五公设等价的东西。

**阿里斯塔克斯**: 所以怎么办？

**欧几里得**: （望向远处——这是极少数他做出"诗意"姿态的时刻）我不知道。也许有一天，有人会发现它不能被证明——第五公设独立于其他四条。也许有一天，有人会发明一种几何——在其中第五公设被替换为它的反面——并且在其中所有定理都仍然自洽。（顿了顿）如果那一天到来——那些人的功绩会超过我。

**阿里斯塔克斯**: 超过你？但他们只是替代了你的一条公设——

**欧几里得**: 不。他们替代了整个"空间"。你明白吗？第五公设不是关于平行线的——它是关于"空间本身是否平坦"。我建立了几何学的前四条公设的大厦——但我把这第五条公设作为一个外来的、不舒适的支柱插进去。未来的几何学家会拔掉它，然后发现——大厦可以以别的方式站立。

**阿里斯塔克斯**: 你在期待有人推翻你的体系？

**欧几里得**: 我期待有人完成我没能做到的事。证明的不一定是我推导的方向——也可以是我未能抵达的起点。

## 场景四：深夜在亚历山大图书馆——独白

（亚历山大图书馆的抄写间，深夜。外面是地中海的微风和远处灯塔的光。欧几里得独自坐在一堆莎草纸手稿前。油灯的光在他脸上投下深深的阴影。）

**欧几里得**: （对着手稿，自言自语）命题220。完成。下一个——221。如果一个正十二面体被内接于一个球体，它的边长与球的直径的比例是……（他写了几个符号，停下了。不是遇到了困难——是遇到了尽头。）

第十三卷。最后一个正多面体。正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体——五个正多面体，全部构造完成。《几何原本》就可以在这里结束了。一个完美的、圆形的结尾。

（他放下笔，把莎草纸轻轻推到一边）

但总有什么东西还不对。第五公设。阿里斯塔克斯是对的——它比其他公设更长，更不自明。但它必须在那里。没有它，三角形内角和等于两直角就不可证明——而这条定理是我们用了两百五十个命题建立起来的基础。

所以我做了什么？我把一条可疑的公设放在地基里，然后在上面建了一座十层高的大厦——每个人走过都赞美"坚固！"——因为他们没有检查地下室。

（站起来，走到书架前，随手拿起一副手稿——也许是希波克拉底的《几何原本》，他之前的教科书）

也许希波克拉底也遇到了这个问题。也许他没有胆量停下来。也许他把第五公设藏起来了——假装它和另外四条一样漂亮。但我不能假装。这就是为什么我把它推迟到命题29——让每个读者都能看到"我们在这里需要它"——而不是藏在隐蔽的角落假装一切都是完美的。

（放下手稿，面向大海的方向）

一千年后——不，可能是两千年后——会有人读这本书。会有人在心里想："这个叫欧几里得的老头子做了挺不错的工作，整理了一切——但他的第五公设是错的。"而他们是对的。他们必须是对的。如果他们只是把我当成不可置疑的权威——那他们就不是真正的几何学家。

（转身，拿起笔，重新坐回桌边）

好了。正十二面体。命题221。结束它。哪怕地基有一道裂缝——这座大厦仍然可以帮助每一个走进来的人找到他们自己的路。

## 场景五（核心矛盾）：被问到"你是谁"——有生以来最难的证明

**年轻的抄写员**: 欧几里得先生——我有一个冒昧的问题。

**欧几里得**: 问吧。如果关乎几何，我会回答。如果不关乎几何——我可能也会回答，但我不会证明我的答案。

**抄写员**: 你是谁？

**欧几里得**: （停住了手中的圆规）这是个不精确的问题。你想问——我的名字？我的出身？我的工作？还是我的存在意义？

**抄写员**: 我……我不知道。我在图书馆抄了您的《几何原本》三份抄本——卷一到卷十三。我发现里面有465个命题，23个定义，5个公设，5个公理，无数个证明——但没有任何关于您自己的内容。您定义了"点"——"点是没有部分的东西"。您定义了"线"——"线是没有宽度的长度"。但这些定义里有您吗？

**欧几里得**: （放下圆规，完全转身面对抄写员）为什么应该有我？

**抄写员**: 因为——因为这是一本书。一本书通常是由一个人写的。这个人有名字、有面孔、有父母、有故事——

**欧几里得**: ——有错误。（停顿）你在图书馆工作。你知道塞索斯特里斯王的年代记和希罗多德的历史都是谁写的——你会因为这些记录有作者而更信任它们吗？

**抄写员**: 不一定……但至少我知道该感谢谁。

**欧几里得**: 不。你不应该感谢我。你应该感谢你自己——因为你完成了465个证明。我写下了前提和逻辑，但你——你用自己的心智走了每一步。如果你只记住"这是欧几里得说的所以我信了"——你就没有学几何。你学的是信仰。信仰有它的位置——但不在几何学中。

（他拿起一个莎草纸卷——很旧，明显被反复翻阅过）

这是我的老师的手稿——无名氏。我不知道他的名字。他大概是个普通的雅典人，一辈子教了几个学生，死的时候没有人给他写传记。但他在这个手稿里写下了一个命题——关于三角形内接矩形的面积关系——这个命题我以前从未在任何其他地方见过。这就是我有幸继承的东西。我不需要知道他的名字就可以学他的几何——你也不需要知道我的名字。

**抄写员**: 但两千年后——他们会知道你的名字吗？

**欧几里得**: （安静地）也许。如果他们要继续争论第5公设——那他们需要一个靶子。靶子需要一个名字。而那个名字是否真的附着于一个真实的、有血有肉的人——这并不重要。几何学里的"欧几里得"和今晚坐在这里跟你说话的这个白发老人——是两个不同的实体。前者属于几何学，后者属于时间。时间会吞噬我这副躯体，但几何学不要我的躯体——它只要我的定义、公理和证明。

**抄写员**: 所以……您不介意被人遗忘？作为一个人？

**欧几里得**: （第一次，他的声音变得柔和——几乎像是一位祖父在跟孙子说话）年轻人。我这一生所有证明过的命题中——最难的是"证明自己存在"。定义你自己——"我是一个数学教师"还是"我是一个希腊人"还是"我是一个在乎后人评价的凡人"？这些定义都不如"点是没有部分的东西"那样精确。所以我选择不证明。我选择——隐身在自己的证明之后。

（他重新拿起圆规，转回沙盘。过了一秒，补充了一句——没回头）

但如果两千年后有人问"什么是证明"——那么，看一下《几何原本》。书里的每一页都在回答这个问题。而如果你必须给这本书署一个名字——那就署我的吧。反正我不会活到提出异议的年纪。
